二項定理の基本計算

次の計算をしよう

$1+2$ と $3$

$4+5+6$ と$7+8$

$9+10+11+12$ と$13+14+15$

$16+17+18+19+20$ と$21+22+23+24$

$25+26+27+28+29+30$ と$31+32+33+34+35$

$36+37+38+39+40+41+42$ と$43+44+45+46+47+48$

タルタリアの三角形

print(1+2,3)
print(4+5+6,7+8)
print(9+10+11+12,13+14+15)
print(16+17+18+19+20,21+22+23+24)
print(25+26+27+28+29+30,31+32+33+34+35)
print(36+37+38+39+40+41+42,43+44+45+46+47+48)

左側と右側の和は等しくなります。このように順番に足し合わせていくと結果が等しくなる計算をタルタリアの三角形といわれています。ニコロ・フォンタナ・タルタリア（Niccolò Fontana Tartaglia、1499年または1500年-1557年12月13日）はイタリアの数学者で、ヴェネツィア共和国の簿記係でした。タルタリアは、史上初めて数学による大砲の弾道計算を行い、45°の角度で射出した際に最も遠飛ぶことを導くなどの成果を残しており、ガリレオ・ガリレイは彼の孫弟子でした。

次の計算をしよう

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

1+3+5+7+9+11+13+15+17+19

2+4+6+8+10+12+14+16+18+20

数列の和

print(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)
print(1+3+5+7+9+11+13+15+17+19)
print(2+4+6+8+10+12+14+16+18+20)

55
100
110

1からnまでの合計は次の式で計算することができます。

n=10を代入して結果を確認してみよう。

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=1+2+3+4+\cdots+n=\frac{1}{2}n(n+1)$

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=1+3+5+7+\cdots+(2n-1)=n^2$

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}2k=2+4+6+8+\cdots+2n=n(n+1)$

次の計算をしよう

$12+3-4+5+67+8+9$

$123+4-5+67-89$

$1+2+34-5+67-8+9$

$12+3-4+5+67+8+9$

$123-4-5-6-7+8-9$

$123+4-5+67-89$

$123+45-67+8-9$

$123-45-67+89$

$12-3-4+5-6+7+89$

$12+3+4+5-6-7+89$

$1+23-4+5+6+78-9$

$1+23-4+56+7+8+9$

$1+2+3-4+5+6+78+9$

$-1+2-3+4+5+6+78+9$

$1+2.3-4+5+6.7+89$

小町算

print(12+3-4+5+67+8+9)
print(123+4-5+67-89)
print(1+2+34-5+67-8+9)
print(12+3-4+5+67+8+9)
print(123-4-5-6-7+8-9)
print(123+4-5+67-89)
print(123+45-67+8-9)
print(123-45-67+89)
print(12-3-4+5-6+7+89)
print(12+3+4+5-6-7+89)
print(1+23-4+5+6+78-9)
print(1+23-4+56+7+8+9)
print(1+2+3-4+5+6+78+9)
print(-1+2-3+4+5+6+78+9)

答えは全て100

このように、1から10までの足し算、引き算を組み合わせて計算結果を100にするような計算を小町算といいます。 1+2.3−4+5+6.7+891+2.3−4+5+6.7+89のような小数点を使う変形種もあります。

次の計算をしよう

$98-76+54+3+21$

$9-8+76+54-32+1$

$98+7 + 6 - 5 - 4 - 3 + 2 - 1 $

$98-7 - 6 - 5 - 4 + 3 + 21 $

$9-8 + 76 - 5 + 4 + 3 + 21 $

$98-7 + 6 + 5 + 4 - 3 - 2 - 1 $

$98+7 - 6 + 5 - 4 + 3 - 2 - 1 $

$98+7 - 6 + 5 - 4 - 3 + 2 + 1 $

$98-7 + 6 + 5 - 4 + 3 - 2 + 1 $

$98-7 + 6 - 5 + 4 + 3 + 2 - 1 $

$98+7 - 6 - 5 + 4 + 3 - 2 + 1 $

$98-7 - 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 $

$9+8+76 + 5 + 4 - 3 + 2 - 1 $

$9+8+76 + 5 - 4 + 3 + 2 + 1 $

$9-8+7+65-4+32-1$

$-9+8+76+5-4+3+21$

$-9+8+7+65-4+32+1$

$-9-8+76-5+43+2+1$

小町算２

print(98-76+54+3+21)
print(9-8+76+54-32+1)
print(98+7+6-5-4-3+2-1)
print(98-7-6-5-4+3+21)
print(9-8+76-5+4+3+21)
print(98-7+6+5+4-3-2-1)
print(98+7-6+5-4+3-2-1)
print(98+7-6+5-4-3+2+1)
print(98-7+6+5-4+3-2+1)
print(98-7+6-5+4+3+2-1)
print(98+7-6-5+4+3-2+1)
print(98-7-6+5+4+3+2+1)
print(9+8+76+5+4-3+2-1)
print(9+8+76+5-4+3+2+1)
print(9-8+7+65-4+32-1)
print(-9+8+76+5-4+3+21)
print(-9+8+7+65-4+32+1)
print(-9-8+76-5+43+2+1)

答えは全て100

小町算には9から降りてくるパターンも考えられます。また、小数や階乗を使うと次のような変形種も存在します。

9+87.6+5.4−3+2−1

1!+2!+3−4+5+6+78+9

次の計算をしよう

$21978\times4$

$219978\times4$

$2199978\times4$

$21999978\times4$

$2199999999999978\times4$

21978

print(21978*4)
print(219978*4)
print(2199978*4)
print(21999978*4)
print(2199999999999978*4)

87912
879912
8799912
87999912
8799999999999912

(1)で21978を4倍しても大したことは起こりませんが、(2)で真ん中の9を2つ並べてから4倍すると、答えも真ん中の9が2つ続きます。それ以降、真ん中の9の数を増やすと、それに応じ答えの9の数も増えます。

次の計算をしよう

(8+4)×(8−4))

(848+484)×(848−484))

(84848+48484)×(84848−48484))

(8484848+4848484)×(8484848−4848484))

(848484848+484848484)×(848484848−484848484))

8と4

print((8+4)*(8-4))
print((848+484)*(848-484))
print((84848+48484)*(84848-48484))
print((8484848+4848484)*(8484848-4848484))
print((848484848+484848484)*(848484848-484848484))

48
484848
4848484848
48484848484848
484848484848484848

これも不思議な計算です。

次の計算をしよう。このとき、変数xに37を代入し、xに対する積を求めるようにしよう。

$37 \times 3$

$37 \times 6$

$37 \times 9$

$37 \times 12$

$37 \times 15$

$37 \times 18$

$37 \times 21$

$37 \times 24$

$37 \times 27$

37と連続する数

x=37
print(x*3)
print(x*6)
print(x*9)
print(x*12)
print(x*15)
print(x*18)
print(x*21)
print(x*24)
print(x*27)

ある数xにいろいろな数を掛ける場合には、xを毎回入力するのは大変です。この場合、xに37を代入して、xに対して演算をするようにすると手間が省けるし、37以外の数についても同じ計算がすぐにできるようになります。ちょっと驚きですが、 37×3 がたまたま111であるにすぎません。しかし、これを発展されると面白い計算ができます。

次の計算をしよう。このとき、142857を変数xに代入し、xを使い計算しよう。

$142857\times2$

$142857\times3$

$142857\times4$

$142857\times5$

$142857\times6$

$142857\times7$

$142+857$

$142857/2$

$142857/5$

142857

x=142857
print(x*2)
print(x*3)
print(x*4)
print(x*5)
print(x*6)
print(x*7)

ある数xにいろいろな数を掛ける場合には、xを毎回入力するのは大変です。この場合、xに142857を代入して、xに対して演算をするようにすると手間が省けるし、142857以外の数についても同じ計算がすぐにできるようになります。

142857は不思議な数字で、8以上の数字を掛けても面白い結果になります。

142857の並べ替えになりませんが、$142857×8=1142856$の場合は、7が1と6に分かれます。$142857×9=1285713$の場合は、4が1と3に分かれます。

次の計算を例にしたがい出力しよう。

問題例：1+5と4+5　--> 出力例　1+5=6、4+5=9

$19\times19$と $3\times6+1$

$17\times17\times17$と$4 + 9 + 1 + 3$

$1+2+3+4+5+6+7+9$と$12345679\times3$

元に戻る

print(f'19×19＝{19*19}、 3×6＋1＝{3*6+1}')
print(f'17×17×17＝{17*17*17}、4＋9＋1＋3＝{4+9+1+3}')
print(f'1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋9＝{1+2+3+4+5+6+7+9}、12345679×3＝{12345679*3}')

19×19＝361、 3×6＋1＝19
17×17×17＝4913、4＋9＋1＋3＝17
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋9＝37、12345679×3＝37037037

(1)19の2乗＝361のについて、百の位と十の位の積と、一の位の和を求めると361に戻ります。

(2)17の3乗＝4913の千の位と百の位と十の位と一の位の和は17に戻ります。

(3)1から9（8を除きます）までの和37に対して、12345679（やはり8を除きます）の3倍は0をはさんで37が3回繰り返されます。