二項定理の基本計算

二項定理の加算

$\displaystyle \sum_{k=0}^{n}(-1)^k\ _nC_k=\ _nC_0-\ _nC_1+\ _nC_2-\ _nC_3+ \cdots\ _n C _n=0$であることについて、n=10とn=11の場合について確認してください。その際、各項の値はリストに格納して最後にその合計を求める方法により、計算の過程がわかるようにしてください。

kが奇数の場合マイナス、偶数の場合プラス

n = 11
sigma=[]
for i in range(n+1):
sigma.append(comb(n, i))
print(f'n={n}:{sigma}')

n=10:[1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1]
n=11:[1, 11, 55, 165, 330, 462, 462, 330, 165, 55, 11, 1]

$(x+y)^n=\sum\limits_{r=0}^{n}\ _n C_k\:x^{n-k}y^r=\ _n C_0x^ny^0+\ _n C_1x^{n-1}y^1+\ _n C_2x^{n-2}y^2+\cdots+\ _n C_nx^0y^n$において、$x=1,y=-1$を代入すると、各項の$x^{n-k}=1,y=(-1)^k$となるので問題文にある式になります。

$(1-1)^n=0$から導くことができます。もっとも数字を眺めていても今一つピンとこないので、次の問題に取り組んでください。

$\ _n C_0+\ _n C_2+\ _n C_4+\cdots=\ _n C_1+\ _n C_3+\ _n C_5+\cdots=2^{n-1}$であるこあとを確認してください。

kが奇数の時と偶数の時と別々に計算

n=10
sigma_even =[]
sigma_odd = []
for i in range(n+1):
if i % 2 == 0:
sigma_even.append(comb(n, i))
else:
sigma_odd.append(comb(n, i))
print(f'n={n} even:{sigma_even} sigma = {sum(sigma_even)}')
print(f'n={n} odd :{sigma_odd} sigma = {sum(sigma_odd)}')
print(f'2^n-1={2**(n-1)}')

n=10 even:[1, 45, 210, 210, 45, 1] sigma = 512
n=10 odd :[10, 120, 252, 120, 10] sigma = 512
2^n-1=512
n=11 even:[1, 55, 330, 462, 165, 11] sigma = 1024
n=11 odd :[11, 165, 462, 330, 55, 1] sigma = 1024
2^n-1=1024

$\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\ _nC_k=2^n \quad \sum k:偶数-\sum k:奇数=0$から

$\sum k:偶数=\sum k:奇数=2^{n-1}$となります。

nが奇数の場合には一目でわかりますが、偶数の場合には等しくなるのはちょっと不思議な感じがします。さらに不思議なのは次の式です。

$\displaystyle \sum_{k=0}^{n}(-2)^k\ _nC_k=2^0 \ _nC_0-2^1\ _nC_1+2^2\ _nC_2-\ 2^3\ _nC_3+ \cdots(-2)^n \ _n C _n$の値を$n=10,n=11$について計算してください。

複雑な計算

n=10
sigma =[]
for i in range(n+1):
sigma.append((-2)**i*comb(n, i))
print(f'n={n}:{sum(sigma)}')

n=10:1
n=11:-1

上記のようにnが偶数の時は1、n=奇数の時は-1となります。

$(x+y)^n=\sum\limits_{r=0}^{n}\ _n C_k\:x^{n-k}y^r=\ _n C_0x^ny^0+\ _n C_1x^{n-1}y^1+\ _n C_2x^{n-2}y^2+\cdots+\ _n C_nx^0y^n$において、$x=1,y=-2$を代入すると、各項の$x^{n-k}=1,y=(-2)^k$となるので問題文にある式になります。

この辺は不思議を通り越します。