kが奇数の場合マイナス、偶数の場合プラス
n=10:[1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1] n=11:[1, 11, 55, 165, 330, 462, 462, 330, 165, 55, 11, 1]
(x+y)n=n∑r=0 nCkxn−kyr= nC0xny0+ nC1xn−1y1+ nC2xn−2y2+⋯+ nCnx0ynにおいて、x=1,y=−1を代入すると、各項のxn−k=1,y=(−1)kとなるので問題文にある式になります。
(1−1)n=0から導くことができます。もっとも数字を眺めていても今一つピンとこないので、次の問題に取り組んでください。
kが奇数の時と偶数の時と別々に計算
n=10 even:[1, 45, 210, 210, 45, 1] sigma = 512 n=10 odd :[10, 120, 252, 120, 10] sigma = 512 2^n-1=512 n=11 even:[1, 55, 330, 462, 165, 11] sigma = 1024 n=11 odd :[11, 165, 462, 330, 55, 1] sigma = 1024 2^n-1=1024
n∑k=0 nCk=2n∑k:偶数−∑k:奇数=0から
∑k:偶数=∑k:奇数=2n−1となります。
nが奇数の場合には一目でわかりますが、偶数の場合には等しくなるのはちょっと不思議な感じがします。さらに不思議なのは次の式です。
複雑な計算
n=10:1 n=11:-1
上記のようにnが偶数の時は1、n=奇数の時は-1となります。
(x+y)n=n∑r=0 nCkxn−kyr= nC0xny0+ nC1xn−1y1+ nC2xn−2y2+⋯+ nCnx0ynにおいて、x=1,y=−2を代入すると、各項のxn−k=1,y=(−2)kとなるので問題文にある式になります。
この辺は不思議を通り越します。