ガウス積分とスターリングの定理

ガウス積分の計算とその導き方

統計学ではこんな積分が使われます。

なぜ$\pi$が出てくるのか不思議です。

$I=\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}dx$

$I^2=\displaystyle \left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}dx\right)^2=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx \int_{-\infty}^{\infty}e^{-ay^2}dy$

$\displaystyle =\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a\left(x^2+y^2\right)}dxdy$

$x=rcos\theta\quad y=rsin\thetaとおくとx^2+y^2=r^2$

$dxdy=rdrd\theta$

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-a\left(x^2+y^2\right)}dxdy$

$\displaystyle =\int_0^{\infty}\int_0^{2\pi}e^{-ar^2}rdrd\theta\quad\cdots\;(1)$

$\displaystyle=\int_0^{2\pi}d \theta\int_0^{\infty}e^{-ar^2}rdr=2\pi\int_0^{\infty}e^{-ar^2}rdr$

$u=r^2 とおくとdr=\frac{1}{2}du$

$\displaystyle2\pi\int_0^{\infty}e^{-ar^2}rdr=2\pi\int_0^{\infty}e^{-au}\left(\frac{1}{2}\right)du=\pi\int_0^{\infty}e^{-au}du$

$\displaystyle=-\frac{\pi}{a}\Bigl[e^{-au}\Bigr]_0^{\infty}=\frac{\pi}{a}$

ここで、ガウス積分が導かれました