二項定理

二項定理とその証明

二項定理は次のような計算をします。

数学的帰納法を使って証明するのが一般的です。

まず、n=1を代入すると、$(x+y)^1={}_1 \mathrm{C}_0x+{}_1\mathrm{C}_1y=x+y$となり正しくなります。

次に

$(x+y)^n=\sum\limits_{r=0}^{n}{}_n \mathrm{C}_r\:x^{n-r}y^r$が正しければ、$(x+y)^{n+1}=\sum\limits_{r=0}^{n+1}{}_{n+1} \mathrm{C}_r\:x^{n-r+1}y^r$が言えればいいことになります。

$(x+y)^{n+1}=(x+y)\sum\limits_{r=0}^{n}{}_n \mathrm{C}_r\:x^{n-r}y^r$

$=\sum\limits_{r=0}^{n}{}_n \mathrm{C}_r\:x^{n-r+1}y^r+\sum\limits_{r=0}^{n}{}_n \mathrm{C}_r\:x^{n-r}y^{r+1}$

$={}_n \mathrm{C}_0\:x^{n-0+1}y^0+\sum\limits_{r=1}^{n}{}_n \mathrm{C}_r\:x^{n-r+1}y^r+\sum\limits_{r=0}^{n-1}{}_n \mathrm{C}_{r}\:x^{n-r}y^{r+1}+{}_n \mathrm{C}_{n}\:x^{n-n}y^{n+1}\quad\cdots\;(1)$

$=x^{n+1}+\sum\limits_{r=1}^{n}{}_n \mathrm{C}_r\:x^{n-r+1}y^r+\sum\limits_{r=0}^{n-1}{}_n \mathrm{C}_{r}\:x^{n-r}y^{r+1}+y^{n+1}$

$=x^{n+1}+\sum\limits_{r=1}^{n}{}_n \mathrm{C}_r\:x^{n-r+1}y^r+\sum\limits_{r=1}^{n}{}_n \mathrm{C}_{r-1}\:x^{n-r+1}y^r+y^{n+1}\quad\cdots\;(2)$

$=x^{n+1}+\sum\limits_{r=1}^{n}{}_{n+1} \mathrm{C}_r\:x^{n-r+1}y^r+y^{n+1}\quad\cdots\;(3)$

$={}_{n+1} \mathrm{C}_0\:x^{n-0+1}y^0+\sum\limits_{r=1}^{n}{}_{n+1} \mathrm{C}_{r}\:x^{n-r+1}y^r+{}_{n+1} \mathrm{C}_{n+1}\:x^{n-(n+1)+1}y^{n+1}\quad\cdots\;(4)$

$=\sum\limits_{r=0}^{n+1}{}_{n+1} \mathrm{C}_r\:x^{n-r+1}y^r$

(1)は前の式の第1項はr=0からnまでの計算を、r=0とr=1からnまでの計算に分割しています。

さらに、前の式の第2項をr=0からnまでの計算を、r=0からn-1までとr=nの計算に分割しています。

(2)は前の式の第3項でr=0からn-1までの計算を、r=1からnまでの計算に置き換えています。このため、$\Sigma$の中身のrを1つずつ減らして計算するというテクニックを使っています。

(3)は${}_n\mathrm{C}_r={}_{n-1}\mathrm{C}_r+{}_{n-1}\mathrm{C}_{r-1} \hspace{10px}(n \geqq 1)$ を変形して

${}_n \mathrm{C}_{r}+{ }_n \mathrm{C}_{r-1}＝{}_{n+1} \mathrm{C}_{r}を使います。$

$(x+y)^n=\sum\limits_{r=0}^{n}{}_n \mathrm{C}_r\:x^{n-r}y^r=\sum\limits_{r=0}^{n}{}_n \mathrm{C}_r\;x^r y^{n-r}$

$=\sum_{k=0}^l{}_l \mathrm{C}_ka^{l-k+1}b^k+\sum_{k=0}^l{}_l \mathrm{C}_ka^{l-k}b^{k+1}$

(4)では(3)の式の$x^{n+1}$と$y^{n+1}$を、${}_{n+1} \mathrm{C}_r\:x^{n-r+1}y^r$の$r=0$と$r=n+1$

に併合しています。

二項定理を使うと面白い式を導くことができます。

$\displaystyle (1+x)^n=\sum_{k=0}^{n} \ _nC_k x^k=\ _nC_0x^0+\ _nC_1x^1+\ _n C_2x^2+\ _nC_3x^3+\cdots \ _n C _n x^n$

$x=1$を代入すると

$(1+1)^n=\sum\limits_{k=0}^{n}\ _nC_k=\ _nC_0+\ _nC_1+\ _nC_2+\ _nC_3+\cdots\ _nC_n=2^n$

$x=-1$を代入すると

$(1-1)^n=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\ _nC_k=\ _nC_0-\ _nC_1+\ _nC_2-\ _nC_3+ \cdots\ _n C _n=0$

$x=-2$を代入すると

$\displaystyle n\cdot2^{n-1} = 1_n C _1 + \ 2_n C_2+ 3_n C _3 +4_n C _4 + \cdots n _n C _n $

$= 0_n C _0+1_n C _1 + \ 2_n C_2+ 3_n C _3 +4_n C _4 + \cdots n _n C _n$

さらに期待値の計算で使えそうな式です。

$\displaystyle \sum_{k=0}^{n}k _n C_k = 0_n C _0 + 1_n C _1 + \ 2_n C_2+ 3_n C _3 +4_n C _4 + \cdots n _n C _n　＝n 2^{n-1}$