Pythonでの小数点の扱いと四捨五入

Pythonでの割り算で割り切れない場合の表示される桁数

通常のPytonでの割り算

Pythonで割り切れない割り算をすると次のようになります。

#1 Pythonによる割り算

print(1 / 6)
print(1 / 7)
print(1 / 17)
print(1 / 81)
print(1 / 113)
print(1 / 9801)

0.16666666666666666
0.14285714285714285
0.058823529411764705
0.012345679012345678
0.008849557522123894
0.00010203040506070809

1 / 6 の計算のように、6が無限に循環する数値については小数点以下第17位まで表示し、それ以降は四捨五入をせず切り捨てられてしまいます。1/17のようにさらに分母を大きくすると、小数点第1位が0になるので小数点第18位まで表示されます。要は頭の0を抜かした小数部分の表示（有効桁数）が17桁になります。通常の計算であれば、ここまでの精度は要求されることはありません。

decimalモジュールを使った割り算

これに対し、1/7の商を見ると142857が無限にしていますが、これを循環小数といいます。この循環小数について調べようとすると、もっと有効桁数を多くしたくなります。

このときに便利なのがdecimalモジュールです。decimalモジュールを使うと次のようになります。

#3 decimalモジュールを使った割り算

from decimal import *

print(Decimal('1') / Decimal('6'))
print(Decimal('1') / Decimal('7'))
print(Decimal('1') / Decimal('17'))
print(Decimal('1') / Decimal('81'))
print(Decimal('1') / Decimal('113'))
print(Decimal('1') / Decimal('9801'))

0.1666666666666666666666666667
0.1428571428571428571428571429
0.05882352941176470588235294118
0.01234567901234567901234567901
0.008849557522123893805309734513
0.0001020304050607080910111213142


#4 decimalモジュールを使った割り算（有効桁数100桁）

from decimal import *

getcontext().prec = 100
print(Decimal('1') / Decimal('6'))
print(Decimal('1') / Decimal('7'))
print(Decimal('1') / Decimal('17'))
print(Decimal('1') / Decimal('81'))
print(Decimal('1') / Decimal('113'))
print(Decimal('1') / Decimal('9801'))

0.1666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666667
0.1428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571429
0.05882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882
0.01234567901234567901234567901234567901234567901234567901234567901234567901234567901234567901234567901
0.008849557522123893805309734513274336283185840707964601769911504424778761061946902654867256637168141593
0.0001020304050607080910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505

decimalモジュールで有効桁数を変更する

このように、decimalモジュールの有効桁数は28桁がデフォルトなので、先ほどよりは桁数は増えます。1/Xが循環小数だとすると、循環する桁数はXより小さくなるはずです。なぜなら図の通り学校で習った割り算をすると、枠で囲った部分の数字が前と同じものが出現した場合、次からは同じ計算の繰り返しになるためです。

学校で習った割り算の計算法

ですから1/7くらいなら良いのですが、1/17になると28桁の表示ではいささか怪しくなります。このようなことは、小数点以下100桁程度の計算ができないと見つけることができません。このときには、getcontext オブジェクトのprec属性（getcontext().prec）を100桁に指定します。これで商の循環の仕方がよく分かります。

循環小数の計算

ここからは余談ですが循環小数というのは奥深いものがあります。

例えば1/81は1234567890の10桁がきれいに循環します。

もっとすごいのは1/113です。これも最大の112桁”8849557522123893805309734513274336283185840707964601769911504424778761061946902654867256637168141592920353982300”で循環します。こうなるとgetcontext().precを300位に設定しないと分かりません。ちなみに355/113は円周率πにとても近い値になります。

#5 113を分母にしてた割り算

from decimal import *
import math

getcontext().prec = 300
print(Decimal('1') / Decimal('113'))
getcontext().prec = 10
print(Decimal('355') / Decimal('113'))
print(Decimal(math.pi))


0.00884955752212389380530973451327433628318584070796460176991150442477876106194690265486725663716814159292035398230088495575221238938053097345132743362831858407079646017699115044247787610619469026548672566371681415929203539823008849557522123893805309734513274336283185840707964601769911504424778761061947
3.141592920
3.141592653589793115997963468544185161590576171875

循環小数の計算

恐るべき循環小数1/9801

最後にもっとすごいのは1/ 9801です。循環する桁数は198とそんなにすごいわけではありませんが、循環の仕方に驚きます。

エクセルとの比較

#5 decimalモジュールを使った割り算（1/9801有効桁数300桁）
from decimal import *

getcontext().prec = 300

print(Decimal('1') / Decimal('9801')

0.000102030405060708091011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677787980818283848586878889909192939495969799000102030405060708091011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515

このあたりエクセルだと有効桁数が17桁程度なので歯が立ちません。実務でどこまで使うかは分かりませんが、いろいろ調べてみると興味は尽きません。