剰余の計算

1. print(301%2)
2. print(301%3)
3. print(301%4)
4. print(301%5)
5. print(301%6)
6. print(301%7)

1
1
1
1
1
0
1

タルタリアの問題といわれています。「羊が2頭ずつ数えても、3頭ずつ数えても、4頭ずつ数えても、5頭ずつ数えても、6頭ずつ数えても1頭余るが、7頭ずつ数えるとぴったりだ。羊は何頭いるか？」というものです。301が最も小さな数値で、それ以降、3から7までの最小公倍数420の倍数を足した数字も同様の性質になります。

1. for i in range(10,0,-1):
2. print(2519%i,end=',')

9,8,7,6,5,4,3,2,1,0,

このように、2519は10で割ると9余り、9で割ると8で余り、以下同じように2で割ってい1余るという不思議な数字です。理屈は意外と簡単で、2から10までの整数の最小公倍数2520から1を引いた数がこの割り切れない数字になります。そして、2519から2520の倍数を加えるとやはり同じ余りの結果となります。かといって素数ではなく、約数11をもちます。

1. for i in range(22,0,-1):
2. print(232792559%i,end=',')
3. print()
4. import sympy
5. print(sympy.divisors(232792559+1))

21,20,19,18,17,16,15,14,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0,
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 26, 28, 30, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 48, 51, 52, 55, 56, 57, 60, 63, 65, 66, 68, 70, 72, 76, 77, 78, 80, 84, 85, 88, 90, 91, 95, 99, 102, 104, 105, 110, 112, 114, 117, 119, 120, 126, 130, 132, 133, 136, 140, 143, 144, 152, 153, 154, 156, 165, 168, 170, 171, 176, 180, 182, 187, 190, 195, 198, 204, 208, 209, 210, 220, 221, 228, 231, 234, 238, 240, 247, 252, 255, 260, 264, 266, 272, 273, 280, 285, 286, 304, 306, 308, 312, 315, 323, 330, 336, 340, 342, 357, 360, 364, 374, 380, 385, 390, 396, 399, 408, 418, 420, 429, 440, 442, 455, 456, 462, 468, 476, 494, 495, 504, 510, 520, 528, 532, 546, 560, 561, 570, 572, 585, 595, 612, 616, 624, 627, 630, 646, 660, 663, 665, 680, 684, 693, 714, 715, 720, 728, 741, 748, 760, 765, 
（以下略）

232792559は1から22までの全ての自然数で割ると、余りはその自然数-1になります。232792559+1が1から22までの試しに232792559を20で割って余りを計算してみましょう。なお、232792559は素数です。

1. denominator=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,39,91,12,26,65,57,78,84,40]
2. for i in denominator:
3. print('商',3912657840//i,'余り',3912657840%i)

商 3912657840 余り 0
商 1956328920 余り 0
商 1304219280 余り 0
商 978164460 余り 0
商 782531568 余り 0
商 652109640 余り 0
商 558951120 余り 0
商 489082230 余り 0
商 434739760 余り 0
商 100324560 余り 0
商 42996240 余り 0
商 326054820 余り 0
商 150486840 余り 0
商 60194736 余り 0
商 68643120 余り 0
商 50162280 余り 0
商 46579260 余り 0
商 97816446 余り 0

3912657840は1～9までの各数字と、隣り合う2つの全ての数字を約数に持つという恐るべき数字です。また、10桁の整数でなおかつ0から9までが1つずつ使われているという面白い性質ももっています。このような数字をパンデジタル数(大町数)といい、これにはまた奥深い性質があります。

ちなみに、3912657840を素因数分解をすると$2^4 × 3^2 × 5 × 7^2 × 13 × 19 × 449$となり、7や13がいい働きをしています。いっぽう449はパンデジタル数にするためだけにつかわれていることがわかります。