完全数の計算

完全数は、小さい順に次の数であることが分かっています。perfectというリストを作成した上で、次の計算をして結果を比較しよう。

6,28,496,8128,33550336,8589869056,137438691328

1から3の合計

1から7の合計

1から31の合計

1から127の合計

1から8191の合計

1から131071の合計¶

1から524287の合計

perfect=[6,
28,
496,
8128,
33550336,
8589869056,
137438691328]
def sumup_1(num):
total = 0
for i in range(1,num+1):
total+=i
return total
l_1=[3,7,31,127,8191,131071,524287]
print([sumup_1(num) for num in l_1])
print(list(map(lambda num1:sumup_1(num1),l_1 )))

[28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328]
[28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328]

完全数は、1+2+3+・・・のような1からの合計になります。関数は1つ1つ実行しても問題ありませんが、引数を格納するリストを作成し、リスト内包表記やラムダ式を使う方がスマートになります。

次の計算をして、完全数の配列と比較しよう。

$1^3$から$3^3$の奇数の3乗の合計

$1^3$から$7^3$の奇数の3乗の合計

$1^3$から$15^3$の奇数の3乗の合計

$1^3$から$127^3$の奇数の3乗の合計

$1^3$から$511^3$の奇数の3乗の合計

$1^3$から$1023^3$の奇数の3乗の合計

def sumup_3(num):
total = 0
for i in range(1,num+1,2):
total+=i**3
return total
l_2=[3,7,15,127,511,1023]
print([sumup_3(num) for num in l_2])
print(list(map(lambda num:sumup_3(num),l_2 )))

[28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328]
[28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328]

完成数は奇数の3乗の和によっても求めることができます。

完全数について、その1/約数の合計を計算しよう。

6つの完全数について、約数のリストを作成し、それぞれの1/約数の合計する関数div_sum_perfectを作成し、計算結果を確認しよう。ただし、計算時間がかかり終了しない場合は33550336まで計算することとしよう。

from decimal import Decimal
import math
def div_sum_perfect(num):
l=[]
for i in range(1, num+1):
if num % i == 0:
l.append(Decimal(1)/Decimal(i))
return math.fsum(l)
for p in perfect[:5]:
print(p,div_sum_perfect(p))

6 2.0
28 2.0
496 2.0
8128 2.0
33550336 2.0

完全数については、1/約数の合計は2になります。

6つの完全数について、約数のリストを作成し、1以外の約数についてそれぞれの1/約数の合計する関数div_sum_perfect_2を作成し、計算結果を確認しよう。ただし、計算時間がかかり終了しない場合は33550336まで計算することとしよう。

from decimal import Decimal
import math
def div_sum_perfect_2(num):
l=[]
for i in range(1, num+1):
if num % i == 0:
l.append(Decimal(1)/Decimal(i))
return math.fsum(l[1:])
for p in perfect[:5]:
print(p,div_sum_perfect(p))

6 1.0
28 1.0
496 1.0
8128 1.0
33550336 1.0

完全数に限らず、すべての整数は1を約数にもちます。そこで、上記の計算でのけいさんから1/1を除いた数値について1/約数を計算します。

友愛数

220と284それぞれについてdiv_sum_perfect_2関数を使い、1以外の約数について1/約数の合計を計算し、その積を計算しよう。

smaller=div_sum_perfect_2(220)
bigger=div_sum_perfect_2(284)
print(smaller*bigger)

1.0

友愛数のリスト作成した上で、div_sum_perfect_2関数を適用し、それぞれの積を計算しよう。

(220, 284)(1184, 1210)(2620, 2924)(5020, 5564)

(6232, 6368)(10744, 10856)(12285, 14595)(17296, 18416)

amical=([[220, 284],
[1184, 1210],
[2620, 2924],
[5020, 5564],
[6232, 6368],
[10744, 10856],
[12285, 14595],
[17296, 18416]])
for p in amical:
print(div_sum_perfect_2(p[0])*div_sum_perfect_2(p[1]))

1.000000000000000000000000000
1.000000000000000000000000000
0.9999999999999999999999999989
1.000000000000000000000000001
1.000000000000000000000000001
1.000000000000000000000000001
1.000000000000000000000000001
0.9999999999999999999999999999

婚約数を想定して、1と自身以外の約数について、1/約数の合計を計算する関数div_sum_perfect_3関数を作成し、婚約数の組(48, 75)に適用することで積を計算しよう。

from decimal import Decimal
import math
def div_sum_betrothed(num):
l=[]
for i in range(1, num+1):
if num % i == 0:
l.append(Decimal(1)/Decimal(i))
return math.fsum(l[1:-1])
smaller=div_sum_betrothed(48)
bigger=div_sum_betrothed(75)
print(smaller*bigger)

1.0

(2) 友愛数のリスト作成した上で、div_sum_perfect_3関数を適用し、それぞれの積を計算しよう。

(48, 75) (140, 195)(1050, 1925)(1575, 1648)

(2024, 2295)(5775, 6128)(8892, 16587)

betrothed=([[48, 75],
[140, 195],
[1050, 1925],
[1575, 1648],
[2024, 2295],
[5775, 6128],
[8892, 16587]])
for i in betrothed:
print(div_sum_betrothed(i[0])*div_sum_betrothed(i[1]))

1.0
1.0
0.9999999999999999
1.0
1.0
1.0
1.0