Numpy Sympyで複素数の計算をする

Pythonで複素数について計算するときに、NumPyモジュールやSymPyモジュールを使うと、より応用的な計算をすることができます。

NumPy、SymPyモジュールによる複素数の基本的な計算

NumPyモジュールでは、ndarrayとして配列を定義すると、複数の複素数について同時に演算をすることができます。

[2.+2.j 3.+3.j 4.+4.j]
[ 0.+0.j -1.+1.j -2.+2.j]
[0. +2.j 0. +5.j 0.+10.j]
[1. +0.j  0.8+0.6j 0.6+0.8j]

[1. 1. 1.]
[1. 2. 3.]
[1.-1.j 1.-2.j 1.-3.j]

SymPyモジュールでは、虚数単位を大文字のIで表します。

I
-1

SymPyでは虚数単位は英大文字のIで表します。Iを2乗すると定義通り-1になります。

SymPyモジュールにも複素数に関する基本的な関数が用意されています。

2
3
(2, 3)
2 - 3*I

SymPyモジュールには、複素数の代数計算をする機能が用意されています。

2行目にようにSymPyで変数を定義するとき”complex=True”と指定すると、複素数として取り扱うことができます。
3行目のように単純に出力するとzとしか表示されませんが、4行目のようにexpand_complex関数を使うと実部と虚部を分けて表示することができます。
5行目のようにconjugate関数を使うと$\overline{Z} $のように共役複素数の表現をすることができます。これに対して6行目のようにexpand_complex関数を使うと、共役複素数を実部と虚部を分けて表示させることができます。

SymPyモジュールで、変数に具体的な複素数を代入したのち、前節と同じ計算をすると次のとおりになります。

1+2𝑖 
1+2𝑖
1−2𝑖
1−2𝑖
1+2𝑖

変数zに値が代入されているので、expand_complex関数を使っても単純な複素数の表示になります。

共役複素数について基本的な公式は次の通りです。

$\overline{\alpha+\beta}=\overline{\alpha}+{\overline{\beta}}$

$\overline{\alpha\beta}=\overline{\alpha}{\overline{\beta}}$

$\displaystyle \overline{ \left( \frac{\alpha}{\beta} \right) } = \frac{ \overline{ \alpha } }{ \overline{ \beta } }\quad(\beta \neq 0)$

$\overline{\overline{\alpha}}=\alpha$

$\displaystyle \frac{\alpha+\overline{\alpha}}{2}=re(\alpha)$

$\displaystyle \frac{\alpha-\overline{\alpha}}{2}=img(\alpha)$

SymPyの代数計算を使えば、これらの公式をかくにんすることができます。

次の定理は受験参考書を見ると自明なものとしてでてきますが、しっかり意識しておかないと計算ミスにつながります。このような定理もSymPyの代数計算を使えば確認することができます。