Excelで回帰係数、相関係数を計算する

最小二乗法による式や相関係数の計算においても、Excelは強力な機能を持っています。そこで、これらについてまとめます。

EXCELの表と列の意味

各セル(列)の概要を確認します。

計算式 概      要
C $x$ 説明変数$x$の値を入力し、11行目に合計、12行目に平均\bar{x}を計算
D $y$ 目的変数$y$の値を入力し、11行目に合計、12行目に平均\bar{y}を計算
E $x-\bar{x}$ xと平均との偏差。合計すると0になる。
F $y-\bar{y}$ yと平均との偏差。合計すると0になる。
G $(x-\bar{x})^2$ xの偏差の2乗。G11で合計した値が偏差平方和。G12はG11÷データ数nより分散を計算
H ($y-\bar{y})^2$ yの偏差の2乗。H11で合計した値が偏差平方和。H12はH11÷データ数nより分散を計算
I $(x-\bar{x̄})(y-\bar{y})$ xの偏差とyの偏差の積。I11の合計が積和、I12でI11をデータ数で割ることにより共分散を計算
J $xy$ xとyの積。J11の合計値を共分散の簡便法の計算で使用。
K $x^2$ $x$の2乗。K11の合計値は$x$の偏差平方和、分散の簡便法の計算で使用
L $y^2$ $y$の2乗 。L11の合計値は$y$の偏差平方和、分散の簡便法の計算で使用

各数値の計算

偏差平方和($T_{xx}$、$T_{yy}$)分散($S_{xx}$、$S_{yy}$)

図表1にもとづき式を入力し、C6:D10にデータを入力すると図表2のようになります。

相関係数の計算
相関係数の計算

すでにG11で計算した$x$の偏差平方和$T_{xx}$をセルC15で表示しています。D15では簡便法で計算しています(=K11-C11^2/D3)。また、E15では偏差平方和をDEVSQ関数で計算しています。

DEVSQ関数

&DEVSQ(セル範囲) 偏差平方和を計算

ちなみに偏差平方和は英語ではDeviation sum of squaresであり、Deviationは偏差をいいます。

またC17では分散の値を表示していますが、これもすでにG12で計算済です。E17では分散をVAR.P関数で計算しています。さらに分散の平方根が標準偏差でありJ17その計算をしています。K18ではSTDEV.P関数を使い標準偏差を計算しています。

VAR.P関数

&VAR.P(セル範囲)   分散を計算(偏差平方和÷データ数)

STDEV.P関数

&STDEV.P(セル範囲) 標準偏差を計算(偏差平方和÷データ数)

&なお、VAR.P関数、STDEV.P関数はデータを母集団として偏差平方和をデータ数nで割って計算します。いっぽう、データが標本の場合にはデータ数n$-$1で割る必要があります。この場合にはVAR.S関数、STDEV.S関数を使います。

積和、共分散($T_{xy}$)

積和については、I11で計算しており、これをデータ数で割ったものがI12の共分散になります。この共分散はC19で表示するとともにD19では簡便法で計算しています(=(J11-C11*D11/D3)/D3)。

積和に関する関数は無く、共分散はE19でCOVARIANCE.P関数を使って計算します。

COVARIANCE.P関数

&COVARIANCE.P(x,yセル範囲) 分散を計算(偏差平方和÷データ数)

&なお、COVARIANCE.P関数はデータを母集団として偏差平方和をデータ数nで割って計算します。いっぽう、データが標本の場合にはデータ数n$-$1で割る必要があります。この場合にはCOVARIANCE.S関数を使います。

covarianceは英語で共分散を指します。

回帰曲線の傾き(SLOPE、INTERCEPT)

回帰曲線の傾きは$S_{xy}/S_{xx}$で計算することができます。そこで、この計算をC20で行っています(=C19/C17)。

SLOPE関数

&SLOPE(y,xセル範囲) 回帰直線の傾きを計算。引数は(目的変数、説明変数)の順番であることに注意

INTERCEPT関数

&INTERCEPT(y,xセル範囲) 回帰直線の切片を計算。引数は(目的変数、説明変数)の順番であることに注意

英語では傾きはSLOPE、切片は INTERCEPTで関数名もそのままです。

まとめ

EXCELの回帰分析における機能のうち、きわめて基本的なものを挙げました。しかし、まだまだ豊富な機能がEXCELには備わっています。