組合せ二項定理公式

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順列・組み合わせ

重複順列

r人をn個の部屋に分ける

$_{n}\Pi_{r}=\underbrace{n\times{n}\times\cdots\times{n}}_{r個の積}=n^r$

順列

$1\le x_i\le n,1\le x_j\le n,k_i\ne k_j,1\le i\lt j \le k$

$\displaystyle {}_n\mathrm{P}_r = \frac{n!}{(n-r)!}=\overbrace {n(n-1)(n-2)・・・(n-r+1) \quad}^{r個}$

組み合わせ

$\displaystyle {}_n \mathrm{C}_r =\frac{_n \mathrm{P} _r}{r!}=\frac{n!}{r!(n-r)!}= \frac{\overbrace {n(n-1)(n-2)\cdots (n-r+1)}^{r個}}{\underbrace {r\times (r-1)\times \cdots 2  \times 1}_{r個}}$

組み合わせの相補性

nからr個選ぶ組合わせとn-r個選ぶのは同じ

${}_n\mathrm{C}_r={}_n\mathrm{C}_{r-1}$

nとrを1ずつ増やす場合

n人からr人を選んでから代表を決めることと、n人の中から代表を選び、残ったn-1人からr-1人を選ぶことは同じ

$r\;{}_n\mathrm{C}_r=n\;{}_{n-1}\mathrm{C}_{r-1}$

両辺をrで割ると

${}_n\mathrm{C}_r =\displaystyle\frac{n}{r}{}_{n-1}\mathrm{C}_{r-1}$

nにn+1、rにr+1を代入して

${}_{n+1}\mathrm{C}_{r+1}=\displaystyle\frac{n+1}{r+1} \ _n\mathrm{C}_r$

rが1増えた場合

${}_n\mathrm{C}_r$でもう一人選べたらn-r人から1人選べる。しかし、分母もr+1人増える

$\displaystyle{}_n\mathrm{C}_{r+1}=\frac{n-r}{r+1}{}_n\mathrm{C}_r$

rにr-1を代入して

$ \displaystyle{}_n\mathrm{C}_r= \frac{n-r+1}{r}{}_n\mathrm{C}_{r-1}$

nを1増やす

$\displaystyle{}_{n+1}\mathrm{C}_r= \frac{n+1}{n-r+1}{}_n\mathrm{C}_r$

$\displaystyle{}_n\mathrm{C}_r=\frac{n}{n-r}{}_{n-1}\mathrm{C}_r$

組み合わせの分割

特定の要素を選ぶ場合と選ばない場合に分ける

${}_n\mathrm{C}_r={}_{n-1}\mathrm{C}_r+{}_{n-1}\mathrm{C}_{r-1} \hspace{10px}(n \geqq 1)$

nを1増やす式を証明

$\displaystyle{}_n\mathrm{C}_r={}_{n-1}\mathrm{C}_r+{}_{n-1}\mathrm{C}_{r-1}={}_{n-1}\mathrm{C}_r+\frac{r}{n-r}{}_{n-1}\mathrm{C}_r=\frac{n}{n-r}{}_{n-1}\mathrm{C}_r$

$\displaystyle\because{}_{n-1} \mathrm{C}_{r}=\frac{n-r}{r}{}_{n-1} \mathrm{C}_{r-1}$

rを増やして累計(二項定理)

$(x+y)^n=\sum\limits_{r=0}^{n}{}_n \mathrm{C}_r\:x^{n-r}y^r=\sum\limits_{r=0}^{n}{}_n \mathrm{C}_r\;x^r y^{n-r}$

$2^n= \sum\limits_{k=0}^{n}{}_n\mathrm{C}_k={}_n\mathrm{C}_0+{}_n\mathrm{C}_1+{}_n\mathrm{C}_2+{}_n\mathrm{C}_3+\cdots{}_n\mathrm{C}_n$

$\sum\limits_{k=r}^{n}{}_k\mathrm{C}_r={}_{n+1}\mathrm{C}_{r+1}$

$\sum\limits_{k=0}^{n} {}_k\mathrm{C}_r={}_{n+1}\mathrm{C}_{r+1}$

$if n<r:→{}_k\mathrm{C}_r=0$

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