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きますが、k=pqが合成数の時には、$2^k - 1 = 2^{pq} - 1$ =$ (2^p-1)(2^{pq -p}+\cdots+2^{3p}+2^{2p}+2^p+1)$となり、 メルセンヌ素数に$2^{k-1}$を掛けた値が完全数になるのは次の計算ができるためです。 整数nが完全数であるため nの約数の合計:Sとす...

Pythonでオイラー関数を計算する オイラー関数は、ある整数に対し、その整数より小さくかつ互いに素（最大公約数=1)となる整数の個数を計算します。オイラー関数の前提として、Pythonでは次の通り最大公約数を計算することができます。 #最大公約数を計算...

Pythonで小数型の数値を2進数に変換するために関数を作ってきましたが、この結果が本当に正しいかは全くわかりません。そこで、小数を2進数に変換する関数やメソッドを探してみましたが現時点で見つかっていません。そのかわり、16進数に変換すること、次...

Pythonで浮動小数点の計算をしていて、桁あふれの処理をするとき、あふれたbitを丸める必要があります。このときに丸める方法ための関数を作成します。このことにより、本当に細かい話ですが小数点以下のおかしな振る舞いがなぜ起ってしまうのかがわかりま...

arctanのほかにも、バーゼル問題やさらには素数から円周率を計算する方法があります。 $\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{2}}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}\cdots=\frac{\pi^2}...

次のようなグレゴリー級数で、$\pi/4$を計算することができます。 $\displaystyle \arctan(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}\cdots$ そこで、この計算で100項までループし...

これから円周率の精度計算をするにあたり、正確な円周率10万桁をネットで検索してみました。ざっと調べて2つのサイトが使えそうです。 pi_day（Mometrix University） Mometrix Universityというのはボストンにあるオンラインの大学のようですがインドのニ...

微分、積分などの知識を使って円周率を計算します。まずはじめに、単純なところから。 $\tan \frac{\pi}{4}=1$ $\pi/4$は45度なので、$tan=1$なのはすぐにわかります。そこでtanの逆数arctanを考えます。 $\displaystyle \frac{\pi}{4}=\arctan 1$ ここで$...

Pythonでネイピア数を計算します。といってもSymPyモジュールを使えば、好きな桁数だけ計算できます。 SymPyモジュールでネイピア数を計算する import sympy print(sympy.E.evalf(100)) 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696762...

Pythonを使って平方根を計算してみます。といっても、x**(0.5)とかsqrt関数で計算しようという話ではありません。頭の体操で、手計算に近い方法で計算しようという趣旨です。 ごくごく単純な方法 中学校程度の数学の知識で計算する、とてもシンプルな方法...