-
二項定理の証明
二項定理を使うと面白い式を導くことができます。 \begin{eqnarray*} & \int_0^1\left(\ _n C_0+\ _n C_1 x+\ _n C_2 x^2+\cdots \cdots+\ _n C_n x^n\right) d x \\ & =\left[\ _n C_0 x+\frac{\ _n C_1}{2} x^2+\frac{\ _n C_2}{3}... -
期待値と分散の関係
期待値の定義とその性質期待値は、考えられるすべての値とその確率の積を足し合わせたもの。定義の式を見れば関連する式も直感的に理解できそうです。$E[X]=\sum x_i p_i=x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_kp_k=\mu$$E[X+Y]=E[X]+E[Y]$$E[aX]=aE[X]$$E[b]=b$$E[aX+b... -
ベルヌーイ分布
試行の結果、成功と失敗のように、2通りの結果があり、各回の試行は他の試行に影響を与えず、各回の成功する確率はすべて同じの条件を満たすものをベルヌーイ試行といいます。ここでここで、1回のベルヌーイ試行で成功する確率をpとするときの確率分布をベ... -
$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\exp(\alpha x-e^{x})dx$のテイラー展開
https://ictsr4.com/wp/2024/01/03/post-883/(1)のところで$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\exp(\alpha x-e^{x})dx$を$x=\log\alpha$ の近傍でテイラー展開しました。なぜ$x=\log\alpha$なのでしょうか。expの中身を$f(x)$とすると$f(x)=\alpha x-e... -
スターリングの定理による階乗計算の正確さ
$\displaystyle n!=\varGamma(n+1)\sim\sqrt{2\pi n}\Bigl(\frac{n}{e}\Bigr)^{n}(n\ge1)$とその前に、スターリングの定理を計算するときにテイラー展開をしましたが、ここをもっと求める字数を増やすとさらに精度が増すことが考えられます。そこで、次の... -
スターリングの定理で階乗を計算する
ガンマ関数を使うと階乗の値を計算することができるが、積分を使うので少し面倒。そこで、もう少し簡単に計算する方法がスターリングの定理で、次のように計算します。$\displaystyle n!=\varGamma(n+1)\sim\sqrt{2\pi n}\Bigl(\frac{n}{e}\Bigr)^{n}(n\ge... -
ガンマ関数と階乗の関係
ガンマ関数には次のような面白い性質があります。$\varGamma(z)=\displaystyle\int^\infty_0e^{-t}t^{z-1}dt\quad(z>0)$$\varGamma(n+1)=n!$階乗はscipiのfactorial関数を使い計算することができます。また、ガンマ関数は、pythonのscipyモジュールを使う... -
ガンマ関数の漸近展開での積分について
ガンマ関数の漸近展開で、次の計算をしました。$\displaystyle\varGamma(\alpha+1)=\int_{0}^{\infty} t^{\alpha}e^{-t}dt$$\displaystyle=\Bigl[-t^{\alpha}e^{-t}\Bigr]_{0}^{\infty}\quad\cdots\;(1)$$\displaystyle=+\int_{0}^{\infty}\alpha t^{\alph... -
興味深いガンマ関数
ガンマ関数は次のとおり定義されます。$\varGamma(z)=\displaystyle\int^\infty_0e^{-t}t^{z-1}dt\quad(z>0)$ガンマ関数にz=1/2を代入すると次のとおりガウス積分になります。$\varGamma(1/2)=\displaystyle\int^\infty_0e^{-t}t^{-1/2}dt$$t=s^2$とすると... -
ガウス積分について
【ガウス積分の計算とその導き方】統計学ではこんな積分が使われます。\(\displaystyle\int^\infty_{-\infty} e^{-ax^2}dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}\)なぜ$\pi$が出てくるのか不思議です。$I=\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}dx$$I^2=\displa...
