興味深いガンマ関数

ガンマ関数は次のとおり定義されます。

$\Gamma (z)={\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-t}{t}^{z-1}dt(z>0)}$

ガンマ関数にz=1/2を代入すると次のとおりガウス積分になります。

$\Gamma (1/2)={\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-t}{t}^{-1/2}dt}$

$t=s^2$とすると$dt=2sds$なので

$={\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-t}{t}^{-1/2}dt={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-s^2}{s}^{-1}2sds}$

$={\displaystyle 2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-s^2}ds}$

$e^{-s^2}=e^{-(-s{)}^2}$なので、次のように変換できこれはガウス積分で$a=1$のときの値になります。

${\displaystyle 2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-s^2}ds={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-s^2}ds=\sqrt{\pi }}$

ガンマ関数をグラフにすると次のとおりになります。

グラフをみると$\Gamma (1)=1$、$\Gamma (2)=1$、$\Gamma (3)=2$、$\Gamma (4)=6$、$\Gamma (5)=24$となります。
これだけ見ると、$\mathrm{\Gamma }(n+1)=n!$という関係が見て取れます。このことは、$\Gamma (\alpha +1)$と$\Gamma (1)$を計算することにより導くことができます。

${\displaystyle \mathrm{\Gamma }(\alpha +1)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{\alpha }{e}^{-t}dt}$

${\displaystyle =[-t^{\alpha }{e}^{-t}{]}_0^{\mathrm{\infty }}+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\alpha t^{\alpha -1}{e}^{-t}dt}$

$=\alpha \Gamma (\alpha )$

${\displaystyle \Gamma (1)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-t}dt=[-e^{-t}{]}_0^{\mathrm{\infty }}=1}$

ここから前の結果が導かれます。

$\Gamma (n+1)=n\Gamma (n)=n(n-1)\Gamma (n-1)\cdots$

$=n(n-1)\cdots 2\cdot 1\cdot \Gamma (1)=n!$